Можно ли выселить жильца, который утерял договор аренды, и говорит «не помню срок»?

Если срок аренды был на полгода, по окончании этого срока вы вправе требовать освобождения жилья. Утеря документа арендатором не означает продление. Вы, как собственник, можете подтвердить факт договора (копии, переписка, свидетельские показания) и что срок истёк. Направьте официальное уведомление о расторжении, укажите дату, до которой жилец должен выехать. Если не выселится, идите в суд. Суд установит, что договор аренды уже завершён, и обяжет его выехать. То, что он «не помнит сроки», не защищает его при отсутствии продления. На будущее храните копию договора и переписку. Если арендатор тем более не платит за дополнительное время, у вас ещё больше оснований.